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factorisation par sinus

Factorisation à l'aide de sinus

Auteur : Serge Boisse
Cette page expose mes recherches personnelles sur le sujet

On part du fait qu'un réel divise un entier si et seulement si est entier et est entier , c'est à dire

Par exemple avec

Y axisX axisExpression 2

Les zéros donnent bien les diviseurs de 12.

si , en posant et donc , on pose

La fonction f

Fonction "Divisine" (divine pour les diviseurs)

Exemple avec et

Y axisX axisExpression 2Expression 3Expression 4

Pour tout n et d entiers positifs,

Pour tout x réél,
n est premier
divisent



Les zéros de la fonction (qui est continue) donnent tous les diviseurs de tous les nombres ! Cette fonction est donc le graal de la factorisation au même titre que la fonction de Riemann.

Y axisX axisExpression 2

Inversement on peut aussi étudier ce qui se passe pour quand x sort de l'intervalle [0..1] : la fonction est symétrique par rapport à . exemple avec :

Y axisX axis00-2-2-1-11122331122Expression 2

Propriétés de la fonction f

J'ai découvert les curieuses relations suivantes : (cf docfactosin2 (fichier sur D)(lien privé))

Notons aussi

ce qui est la même chose que

Plus généralement,

La fonction est curieusement simple pour

Y axisX axisExpression 3

D(x,6)

Enfin, j'ai aussi découvert la relation (pour )

Cas n et n+1, n+2...

J'ai étudié les relations entre et pour certaines fonctions et .
Par exemple pour , avec n=30 (courbe en magenta)

Y axisX axis000.20.20.40.40.60.60.80.811-1-111Expression 5Expression 6Expression 7

Quelle est l'enveloppe de cette courbe ?

x f(x) g(x)
0 0 0
1/2

Pour n=27, les zéros de supérieurs à 0.5 sont en
0.5144,0.5424,0.5682,0.5887,0.6059,0.6269,0.647,0.6626,0.6788,0.6954
quelle est cette courbe ? L'interpolation de Lagrange (sur wolfram alpha) ne donne pas de résultat clair.
en fait puisque #tâche/TBC

avec ici 32 et 33 :

Y axisX axis000.20.20.40.40.60.60.80.811-1-111Expression 4Expression 5

C'est donc un décalage de phase, centré en 1/2, que l'on peut tenter d'approximer (difficile)

Y axisX axis000.20.20.40.40.60.60.80.811-1-111Expression 4Expression 5Expression 6

L'idée générale est que si l'on sait calculer les différences successives
,
, etc.
de la fonction divisine , alors on pourra peut-être appliquer la méthode de Newton, cf What comes next Méthode de Newton(lien privé) pour calculer les zéros de et donc les diviseurs de .

Dans les complexes

Dans le même ordre d'idée, on remarque qu'un réel est en fait un entier si et seulement si . Par conséquent étant donné un entier , et un réel , divisera si et seulement si
Cf. ma page sur mon site : Image d'un point par une fonction complexe (page web)

Notons que cela implique
Mais la réciproque n'est pas vraie car on peut très bien avoir deux vecteur opposés mais non réels.

L'application logistique est ici l'application définie par

Les zéros de la fonction donnent, comme nous l'avons vu, tous les diviseurs de n. Intéressons-nous à l'itération
Ici avec :

Y axisX axis000.20.20.40.40.60.60.80.8110.50.511Expression 2Expression 3Expression 4Expression 5

Cela ne semble pas très concluant.
Voyons ce que donne
ici , , :

Y axisX axis000.20.20.40.40.60.60.80.8110.50.511Expression 2Expression 4Expression 5

On n'est pas plus avancé. Cela semble une fausse bonne idée.

Tentative de résolution directe

Revenons à

Nous cherchons en fait les zéros de cette fonction.

Or

Et si l'on se souvient que où l'on utilise ici la détermination principale du log complexe et de la racine carrée, alors

Voir aussi:

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