Auteur : Serge Boisse
Cette page expose mes recherches personnelles sur le sujet

On part du fait qu'un réel divise un entier si et seulement si est entier et est entier , c'est à dire

Par exemple avec

Les zéros donnent bien les diviseurs de 12.

si , en posant et donc , on pose

Exemple avec et

Pour tout n et d entiers positifs,

Pour tout x réél,
n est premier
divisent

Les zéros de la fonction (qui est continue) donnent tous les diviseurs de tous les nombres ! Cette fonction est donc le graal de la factorisation au même titre que la fonction de Riemann.

Inversement on peut aussi étudier ce qui se passe pour quand x sort de l'intervalle [0..1] : la fonction est symétrique par rapport à . exemple avec :

J'ai découvert les curieuses relations suivantes : (cf docfactosin2 (fichier sur D)(lien privé))

Notons aussi

ce qui est la même chose que

Plus généralement,

La fonction est curieusement simple pour

D(x,6)

Enfin, j'ai aussi découvert la relation (pour )

J'ai étudié les relations entre et pour certaines fonctions et .
Par exemple pour , avec n=30 (courbe en magenta)

Quelle est l'enveloppe de cette courbe ?

Pour n=27, les zéros de supérieurs à 0.5 sont en
0.5144,0.5424,0.5682,0.5887,0.6059,0.6269,0.647,0.6626,0.6788,0.6954
quelle est cette courbe ? L'interpolation de Lagrange (sur wolfram alpha) ne donne pas de résultat clair.
en fait puisque #tâche/TBC

avec ici 32 et 33 :

C'est donc un décalage de phase, centré en 1/2, que l'on peut tenter d'approximer (difficile)

L'idée générale est que si l'on sait calculer les différences successives
,
, etc.
de la fonction divisine , alors on pourra peut-être appliquer la méthode de Newton, cf What comes next Méthode de Newton(lien privé) pour calculer les zéros de et donc les diviseurs de .

Dans le même ordre d'idée, on remarque qu'un réel est en fait un entier si et seulement si . Par conséquent étant donné un entier , et un réel , divisera si et seulement si
Cf. ma page sur mon site : Image d'un point par une fonction complexe (page web)

Notons que cela implique
Mais la réciproque n'est pas vraie car on peut très bien avoir deux vecteur opposés mais non réels.

L'application logistique est ici l'application définie par

Les zéros de la fonction donnent, comme nous l'avons vu, tous les diviseurs de n. Intéressons-nous à l'itération
Ici avec :

Cela ne semble pas très concluant.
Voyons ce que donne
ici , , :

On n'est pas plus avancé. Cela semble une fausse bonne idée.

Revenons à

Nous cherchons en fait les zéros de cette fonction.

Or

Et si l'on se souvient que où l'on utilise ici la détermination principale du log complexe et de la racine carrée, alors

#TBC

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